پایان نامه
برای دریافت درجه کارشناسی ارشد
مهندسی مکانیک طراحی کاربردی
امکان تشخیص غیر مخرب شکل هندسی حفرهها با حل معکوس معادله الاستو استاتیک به روش المانهای مرزی،الگوریتم ژنتیک و گرادیان مزدوج
استاد راهنما: دکتر محمود خداداد
استاد مشاور: دکتر علیرضا فتوحی
مهر ماه 1392
(در فایل دانلودی نام نویسنده موجود است)
تکه هایی از متن پایان نامه به عنوان نمونه :
(ممکن است هنگام انتقال از فایل اصلی به داخل سایت بعضی متون به هم بریزد یا بعضی نمادها و اشکال درج نشود ولی در فایل دانلودی همه چیز مرتب و کامل است)
چکیده
در این تحقیق به شناسایی موقعیت و شکل هندسی حفرههای درون یک جسم جامد همگن با حل مسئله مستقیم و معکوس الاستو استاتیک[1] به روش المانهای مرزی[2] ، الگوریتم ژنتیک[3] ، روش گرادیان مزدوج[4] و روش سیمپلکس[5] پرداخته میشود.
برای حل معکوس مسائل الاستو استاتیک، ابتدا نیاز به حل مستقیم آن میباشد. در مسائل مستقیم با بهره گرفتن از روش المانهای مرزی و با دانستن هندسه دامنه شامل شکل و موقعیت حفرهها و همچنین با داشتن شرایط مرزی، مقادیر مجهول جا به جایی و ترکشنها[6] در نقاط داخلی و مرزی جسم بهدست میآید.
اما در مسائل معکوس هندسه مربوط به شکل و موقعیت حفرهها مجهول میباشد که با بهره گرفتن از جابهجاییها و ترکشنهای اندازه گیری شده روی مرز خارجی محاسبه میگردند. اساس این روشها بر مبنای حداقل کردن تابع هدفی میباشد که به صورت مجموع مربعات تفاضل جابهجاییهای محاسبه شده(با بهره گرفتن از روش المان مرزی) و جابهجاییهای اندازه گیری شده بر روی مرز خارجی میباشد. به دلیل غیر خطی بودن مسئله مستقیم، مسئله معکوس نیز غیر خطی بوده و چند وجهی[7] و بد وضع [8]میباشد. بنابراین در بهینه کردن تابع هدف مربوطه برای جلوگیری از گیرافتادن در نقاط بهینه محلی [9] از الگوریتم ژنتیک استفاده میشود. الگوریتم ژنتیک حدس اولیه مناسبی را برای حرکت روش محلی گرادیان مزدوج فراهم می کند. با بهره گرفتن از روش گرادیان مزدوج تابع هدف تا آنجا که ممکن است در راستای بردار گرادیان کاهش پیدا می کند. جوابهای روش گرادیان مزدوج حدس اولیه روش سیمپلکس میباشد. روش سیمپلکس از آنجایی که نیاز به گرادیان گیری ندارد، می تواند در این مرحله کمک مؤثری به بهبود کیفیت جوابها کند.
یکی از محتملترین موارد کاربرد این تحقیق در صنایع ریختهگری میباشد. استفاده از آزمایشهای غیر مخربی نظیر اشعه ایکس برای تعیین حفرههای داخل قطعات بسیار پر هزینه است. اما با بسط نتایج به دست آمده از این تحقیق، میتوان تنها با انجام آزمایش کشش ساده بر روی قطعات محل و شکل حفرهها را پیدا کرد.
فهرست مطالب
فصل اول: مقدمه 1
1-1 مقدمه 1
1- 2 تاریخچه 8
فصل دوم: حل مستقیم معادله الاستو استاتیک برای یک دامنه دارای دو حفره 17
2-1 مقدمه 17
2-2 نظریه اساسی روش المانهای مرزی در مسائل الاستواستاتیک 17
2-3 مقایسه نتایج حاصل از حل مستقیم المان مرزی با نرم افزار آباکوس 34
فصل سوم: حل معکوس معادله الاستیسیته 73
3-1 مقدمه 37
3-2 بهینه سازی و تقسیم بندی روشهای آن 37
3-2-1 روش بهینه سازی محلی 93
3-2-2روشهای بهینه سازی همگانی 39
3-3 طراحی الگوریتم حل معکوس مسائل با بهره گرفتن از روشهای بهینه سازی 41
3-3-1 الگوریتم ژنتیک 43
3-3-1-1 ساختار الگوریتم ژنتیک 44
3-3-1-1-1 افراد یا کروموزومها 44
3-3-1-1-2 کدگذاری 44
3-3-1-1-2-1کدگذاری دودویی 54
3-3-1-1-2-2کدگذاری جایگشتی 46
3-3-1-1-2-3 کدگذاری مقداری 47
3-3-1-1-4 کدگذاری درختی 47
3-3-1-1-3 تابع برازش 74
3-3-1-1-4 جمعیت 48
3-3-1-1-5 انتخاب 84
3-3-1-1-5-3 انتخاب مسابقهای 48
3-3-1-1-8 توابع جریمهای 49
3-3-1-2 روند کلی حل یک مسئله با الگوریتم ژنتیک 51
3-3-1-3روش گرادیان مزدوج 53
3-3-1-3-1 گرادیان تابع هدف 53
3-3-1-3-2 طول گام بهینه 54
3-3-1-5روش سیمپلکس 55
3-4 شبیه سازی مسئله معکوس الاستیسیته 60
3-5 پیاده سازی الگوریتم ژنتیک 62
3-5-1 جمعیت اولیه 64
3-5-2 عملگر تقاطع 65
3-5-3 عملگر جهش 67
3-5-4 توابع جریمهای 68
3-6 برنامه رایانهای 69
فصل چهارم: بررسی نتایج 71
4-1 مقدمه 71
4-2 تنظیمات استفاده شده در برنامه رایانهای 71
4-2-1 تنظیمات مربوط به عملکرد الگوریتم ژنتیک 72
4-2-1-1 تنظیمات توابع الگوریتم ژنتیک 72
4-2-1-2 معیارهای ایست الگوریتم ژنتیک 72
4-2-2 تنظیمات عملکرد روش گرادیان مزدوج 73
4-2-2-1 معیارهای ایست روش گرادیان مزدوج 73
4-2-3 روش سیمپلکس 73
4-2-3-1 معیارهای ایست روس سیمپلکس 73
4-2-4 محاسبه خطا 74
4-3 ورودی ها و خروجیهای نرم افزار طراحی شده 74
4-4 بررسی چند نمونه 75
4-4-1 نمونه شماره 1 75
4-4-2 نمونه شماره 2 81
4-4-3 نمونه شماره 3 83
4-4-4 نمونه شماره 4 87
4-4-5 نمونه شماره 5 90
4-4-6 نمونه شماره 6 94
4-4-7 نمونه شماره 7 99
4-4-8 نمونه شماره 8 103
4-4-9 نمونه شماره 9 107
4-4-10 نمونه شماره 10 111
4-5 بررسی تأثیر اندازه حفرهها در روند کاری الگوریتم 117
4-6 اثر خطای موجود در اندازه گیری جا به جایی بر روند همگرایی 115
4-7 بحث و نتیجه گیری 121
4-8 پیشنهادات 123
پیوست 124
منابع 162
فهرست اشکال
شکل شماره2-1: بردار r و مؤلفه های آن 21
شکل شماره2-2: مرز بندی یک دامنه دلخواه برای معادله شماره 15-2 23
شکل شماره2-3: نحوه برقراری ارتباط بین یک گره روی مرز با سایر گرههای مرزی 26
شکل شماره 2-4: المانهای سهمی برای مسائل دو بعدی 29
شکل شماره 2-5: المانهای سهمی برای مسائل سه بعدی 29
شکل شماره 2-6: یک دامنه دارای دو حفره 32
شکل شماره 2-7: تحت کشش قرار دادن یک جسم جامد دارای دو حفره 34
شکل شماره 2-8: مدل سازی مسئله در نرم افزار آباکوس 35
شکل شماره 2-9: شکل حاصل از تغییر مکان در راستای x 35
شکل شماره 2-10: شکل حاصل از تغییر مکان در راستای Y 35
شکل شماره 3-1: نقاط بهینۀ محلی و بهینۀ کلی 38
شکل شماره 3-2: انتخاب مسابقهای 49
شکل شماره3-3: روند حل مسئله به وسیله الگوریتم ژنتیک 52
شکل شماره 3-4: فرایند انعکاس 55
شکل شماره 3-5: گسترش 57
شکل شماره 3-6: فرایند انقباض 58
شکل شماره 3-7: فرایند شکستن 59
شکل شماره3-8: شمایی از مسئله دو حفرهای همراه با نحوه المان بندی مرزها 60
شکل شماره3-9: نحوه مش بندی مرز حفرهها 70
شکل شماره 4-1: نحوه کشش نمونهها در این فصل 74
شکل شماره 4-2: شکل نمونه شماره 1 75
شکل شماره 4-3: جوابهای مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 1 76
شکل شماره 4-4: جوابهای مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 1 76
شکل شماره 4-5: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 1 77
شکل شماره 4-6: جوابهای مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 1 77
شکل شماره 4-7: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 1 77
شکل شماره 4-8: شکل نمونه شماره 2 79
شکل شماره 4-9: جواب مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 2 81
شکل شماره 4-10 جوابهای مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 2 80
شکل شماره 4-11: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 2 80
شکل شماره 4-12: جواب مرحله سوم بهینه سازی 81
شکل شماره 4-13: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی 83
شکل شماره 4-14: شکل نمونه شماره 3 83
شکل شماره 4-15: جوابهای مرحله اول بهینه سازی 83
شکل شماره 4-16: جواب مرحله دوم بهینه سازی 86
شکل شماره 4-17: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی 86
شکل شماره 4-18: جوابهای مرحله سوم بهینه سازی 85
شکل شماره 4-19: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی 85
شکل شماره4-20: شکل نمونه شماره 4 87
شکل شماره 4-21: جواب مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 4 89
شکل شماره 4-22: جواب مرحله دوم بهینه سازی نمونه شماره 4 90
شکل شماره 4-23: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 4 88
شکل شماره 4-24: جواب مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 4 88
شکل شماره 4-25: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 4 89
شکل شماره 4-26: نمونه شماره 5 90
شکل شماره 4-27: مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 5 91
شکل شماره 4-28: مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 5 91
شکل شماره 4-29: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی 94
شکل شماره 4-30: مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 5 94
شکل شماره 4-31 : درصد خطا برای هر کدام از 28 پارامتر مجهول 95
شکل شماره 4-32: شکل نمونه شماره6 94
شکل شماره 4-33: جواب مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 6 95
شکل شماره 4-34: جواب مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 6 97
شکل شماره 4-35: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 6 96
شکل شماره 4-36: جواب مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 6 96
شکل شماره 4-37: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 6 97
شکل شماره 4-38 : درصد خطا برای هر کدام از 28 پارامتر مجهول 97
شکل شماره 4-39: شکل نمونه شماره 7 101
شکل شماره 4-40: مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 7 101
شکل شماره 4-41: مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 7 100
شکل شماره 4-42: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 7 100
شکل شماره 4-43: مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 7 101
شکل شماره 4-44: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 7 101
شکل شماره 4-45 : در صد خطا برای هر کدام از 28 پارامتر مجهول 104
شکل شماره 4-46: شکل نمونه شماره 8 103
شکل شماره 4-47: جوابهای مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 8 103
شکل شماره 4-48: جوابهای به دست آمده در مرحله دوم بهیه سازی 104
شکل شماره 4-49: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 8 104
شکل شماره 4-50: جواب های مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 8 107
شکل شماره 4-51: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 8 105
شکل شماره 4-52: خطای هر کدام از 28 مجهول محاسبه شده در نمونه شماره 8 108
شکل شماره 4-53: نمونه شماره 9 109
شکل شماره 4-54: جواب مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 9 108
شکل شماره 4-55: جواب مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 9 110
شکل شماره 4-56: جواب مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 9 109
شکل شماره 4-57: جواب مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 9 109
شکل شماره 4-58: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 9 110
شکل شماره 4-59: خطای هرکدام از 28 مجهول محاسبه شده 110
شکل شماره 4-60: شکل نمونه شماره 10 111
شکل شماره 4-61: جواب مرحله اول بهینه سازی برای نمونه شماره 10 113
شکل شماره 4-62: جواب مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 10 112
شکل شماره 4-63: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله دوم بهینه سازی برای نمونه شماره 10 112
شکل شماره 4-64: جواب مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 10 113
شکل شماره 4-65: روند مینیمم شدن تابع هدف در مرحله سوم بهینه سازی برای نمونه شماره 10 113
شکل شماره 4-66: خطای هرکدام از 28 مجهول محاسبه شده 114
شکل شماره 4-67: چگونگی بیضیهای مورد بررسی برای تشخیص بررسی اندازه حفره در روند همگرایی 117
شکل شماره 4-68: یک دامنه دارای دو حفره 118
شکل شماره 4-69: نمونه تخمین حفرهها با دادههای خطادار 1% 117
شکل شماره 4-70: نمونه تخمین حفرهها با دادههای خطادار 3% 117
فهرست جداول
جدول شماره 2-1: مقایسه حل مستقیم المان مرزی با حل آباکوس 80
جدول شماره 4-1: مشخصات نمونه شماره1 78
جدول شماره4-2: مشخصات نمونه شماره 2 82
جدول شماره4-3: مشخصات نمونه شماره 3 88
جدول شماره4-4: جدول مشخصات نمونه شماره 4 91
جدول شماره 4-5: مشخصات نمونه شماره 5 93
جدول شماره4-6: مشخصات نمونه شماره 6 98
جدول شماره4-7: جدول مشخصات نمونه شماره 7 102
جدول شماره 4-8: مشخصات نمونه شماره 8 106
جدول شماره4-9: مشخصات نمونه شماره 9 110
جدول شماره4-10: مشخصات نمونه شماره 10 114
جدول شماره 4-11: بررسی تأثیر اندازه حفرهها در روند کاری الگوریتم 116
جدول شماره 4-12: بررسی تأثیر خطای غیر قابل اجتناب بر همگرایی 118
فصل اول: مقدمه
1-1 مقدمه
یکی از شاخههای مهم و تخصصی علم مهندسی، شناسایی مشخصات فیزیکی و هندسی درون اجسام است. از مسائل شناسایی میتوان به شناسایی مدول الاستیسیته و نسبت پواسون مربوط به ناخالصیهای درون اجسام، شکل و موقعیت ریز حفرهها، مرز بین اجسام ناهمگن و غیره اشاره کرد. روشهای غیر مخربی مانند تست رادیوگرافی به دلیل هزینه بالا برای تولیدات در حجم زیاد، اقتصادی نمیباشند و استفاده از روشهای دیگر همچون تستهای غیر مخرب همچون آزمایش کشش، انتقال حرارت، ارتعاشات و غیره امروز رو به توسعه است. از آنجا که طبیعت حاکم بر این گونه مسائل غیر خطی و بدخیم میباشد، از ترکیب یک روش عددی برای حل معادله دیفرانسیل حاکم بر مساله و روشهای دیگر برای بهینه کردن تابع معکوس استفاده میشود.
هدف از این تحقیق، مطالعه بر روی صفحه دوبعدی تخت با فرض وجود دو حفره با اندازه و شکل نامشخص است. جسم تحت نیروهای سطحی(ترکشنها) و جابجای مشخص، به عنوان شرایط مرزی، بر روی وجوه خارجی قرار دارد برای شناسایی شکل و موقعیت دو حفره نامشخص داخلی ابتدا حل معادلات انتگرال مرزی انجام میشود که در زمره روش المانهای مرزی است.
در این پروژه تابع هدف به صورت مجموع مربعات تفاضل جابجاییهای اندازه گیری شده و جابجاییهای محاسبه شده با بهره گرفتن از حل مستقیم، تعریف میشود. وظیفه الگوریتم ژنتیک پیدا کردن دو حفره دایرهای شکلی است که بتواند تابع هدف را مینیمم کند و به عنوان حدس اولیه در شروع یک روش محلی به کار رود. هرگاه نقطه شروع خوبی برای الگوریتمهای محلی در نظر گرفته شود، همگرایی به سمت نقطه بهینه مطلق محقق میشود. با پیدا شدن این نقطه شروع مناسب، ادامه کار به روش بهینه سازی محلی کوشی- نیوتن واگذار میشود. در این تحقیق با ارائه مثالهایی بهترین شرایط مرزی، قدرت تخمین روش در شناسایی حفرههای مختلف، اثر اندازه و نزدیکی حفرهها به یکدیگر و خطاهای غیر فابل پیش بینی در وسایل اندازه گیری بررسی میشود.
همانطور که در بالا اشاره شد همواره یکی از تلاشهای مهندسین تعیین ساختار داخلی اجسام به روشهای غیر مخرب بوده است که به واسطه پیچیدگی ذاتی، تحلیل مشخصات درونی مواد معمولا با بهره گرفتن از تقریبات متعدد انجام میشود. روشهای مختلفی برای شناسایی ساختار درونی مواد وجود دارد که از کاربردهای این روشها میتوان به تخمین مدول الاستیسیته، تخمین خرابی در جسم جامد الاستیک و آشکار سازی حفره زیر سطح اشاره نمود.
در سالهای اخیر با توجه به پیچیده شدن مسائل و معادلات مطرح شده در مسائل مهندسی و عدم دست یابی به حل تحلیلی این مسائل بنا به دلایلی از جمله اینکه گاهی حوزه مساله به نحوی بیقاعده است که مرزهای آن را نمیتوان توسط روابط ریاضی بیان کرد. همچنین ممکن است مساله به گونهای باشد که بیان رابطه ریاضی حوزه آن مشکل باشد، علاوه بر این در مسایلی که از ماده ناهمسانگرد تشکیل شده اند به دلیل پیدایش معادلات غیر خطی حل تحلیلی مشکل میشود که این امر باعث شد که نیاز و توجه مهندسان به تکنیکهای محاسبات عددی بیشتر شده و به موازات پیشرفت علم و تکنولوژی، به خصوص علوم کامپیوتری، روشهای عددی نیز توسعه قابل ملاحظهای یافته و بیش از پیش مورد توجه پژوهشگران قرار گرفتهاند. این تکنیکها بر اساس حل تقریبی یک معادله یا مجموعه معادلات مطرح شده در یک مساله فیزیکی هستند. در روشهای عددی، معادله یا مجموعه معادلات حاکم بر مساله به همراه شرایط مرزی و شرایط اولیه متناظر با آن تبدیل به یک سیستم معادلات جبری ساده میشوند، که میتوان از روشهای تفاضل محدود[10](FDM) ، حجم محدود[11] (FVM)، المان محدود[12] (FEM)و المان مرزی[13] (BEM) به عنوان روشهای عددی برای حل آنها نام برد.
روش تفاضل محدود نخستین روش آنالیز عددی شناخته شده است. در طی سال 1950 روش المان محدود به عنوان یک شگرد آنالیز ساختاری برای تحلیل عددی توسعه یافت. از سال 1978 روش المانهای مرزی همراه با تکنیکهای عددی دیگر مثل تفاضل محدود و المان محدود توسعه داده شد. روش المانهای مرزی[1] اخیرا به عنوان تکنیک عددی جدید و قدرتمند در حل مسائل مختلف مورد توجه پژوهشگران قرار گرفته. با بهره گرفتن از روش المانهای مرزی میتوان مسائل نظیر پیچش، خمش، انتقال حرارت، جریان سیال و نظیر آنها را بررسی کرد.
مهمترین مزیت روش المانهای مرزی در مقایسه با سایر روشهای عددی این است که معادلات انتگرالی حاصل، معادلات انتگرالی مرزی بوده لذا حل آنها تنها نیازمند افراز نمودن مرز مساله میباشد این در مقایسه با روشهای دیگر همچون المان محدود و تفاضل محدود که نیازمند افراز نمودن کل دامنه میباشند باعث کاهش بعد مسئله شده و به طور موثری کارایی محاسباتی را بالا میبرد. به عبارت دیگر در روش المانهای مرزی مسائل دو بعدی و سه بعدی به ترتیب به مسائل یک بعدی و دو بعدی تبدیل میشوند.
در این مسائل غیر خطی كه متغیر وابسته جابجایی رابطه غیر خطی با پارامترهای مجهول هندسه حفره دارد، روش تكرار برای تخمین پارامترهای موجود ، نیاز است .بنابراین روش المانهای مرزی به دلیل اینكه فقط به شبكه بندی مرزهای خارجی دامنه مساله نیاز دارد، می تواند بسیار موثر واقع شود . قطعا در این تحقیق كه حفره موجود دارای اندازه و مكان مشخص نبوده و بعد از حدس اولیه این پارامترها با هر تكرار مكان واندازه آن عوض می شود، در صورت استفاده از دیگر روش های عددی همچون اجزاء محدود باید در هر تكرار كل دامنه مساله دوباره شبكه بندی شود . شبكه بندی دوباره دامنه مساله بسیار زمانبر و مشكل میباشد. در نتیجه می توان از روش المانهای مرزی به عنوان تنها روش موثر نام برد[2].
یكی از وظایف اصلی مهندسان و دانشمندان استخراج اطلاعات از دادهها میباشد. روش تخمین پارامترها در واقع ابزاری برای مدل كردن پدیده ها و انجام چنین كاری است . به عبارت دیگر این روش استفاده بهینه از اطلاعات در تخمین ثوابتی كه در مدلهای ریاضی طاهر میشوند، میباشد. مدلها ممكن است به صورت معادلات جبری، دیفرانسیلی و انتگرالی همراه با شرایط مرزی و اولیه باشند. تخمین پارامترها را میتوان به عنوان مساله معكوس مورد مطالعه قرار داد. در حل مسائل مستقیم، معادلات دیفرانسیل جزیی[14] عموما با مشخص بودن شرایط مرزی، شرایط اولیه و تمام ثوابت معادله، در یك دامنه معین حل میشوند. در مساله معكوس یك یا چند پارامتر كه مربوط به مقادیر ثابت در شرایط مرزی یا اولیه و یا فیزیك مساله بوده، مجهول می باشند. به جای آنها از اندازه گیریهای متغیر وابسته روی كرانه دامنه مذكور استفاده كرده، مقادیر این ثوابت یا پارامترها تخمین زده میشوند.
در تحقیق حاضر، ابتدا معادلات الاستیسیته دو بعدی با روش المانهای مرزی [1] حل شده است. اولین گام در حل این معادلات بدست آوردن شکل تابع وزن میباشد. جهت بدست آوردن شکل تابع وزن از تابع دلتای دیراک کمک گرفته شده است. این تابع وزن را اصطلاحاً تابع گرین مساله نیز مینامند. با بدست آوردن شکل تابع وزن و تبدیل کلیهی انتگرالهای دامنهای به انتگرالهای مرزی با بهره گرفتن از انتگرال گیری جزء به جزء ، شکل نهایی انتگرالهای مرزی بدست آمده و بعد از آن نسبت به حل معادلات انتگرال مرزی اقدام شده است. با توجه به هندسه ناحیه حل و المان بندی مسئله تعداد 4*N معادله بدست میآید(N تعداد المان) که این تعداد در روش اختلاف محدود N^2 است. با حل این انتگرالهای مرزی برای المانهای انتخاب شده روی مرز دامنهی مورد بررسی، جواب کلی معادله بدست میآید. تنها موردی که کاربرد این روش را مشکل مینماید یافتن شکل تابع گرین در هر مساله جدید میباشد.
برای حل معادله انتگرال مرزی ضمن گسسته کردن معادله، از روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته استفاده شده است. در روش قدم برداری زمانی با گام پیوسته، زمان اولیه انتگرال گیری t0 فرض میشود و سپس برای هر گام زمانی انتگرال گیری لازم از معادلات انجام میشود. لازم به توضیح است که انتگرال گیری برای زمانهای بعد مجدداً از زمان t0 شروع میشود.
در ادامه باید ابتدا به حل مستقیم مسئله الاستیسیته دو بعدی به روش المان مرزی با بهره گرفتن از نوشتن کد کامپیوتری پرداخته و بعد از حل مستقیم، به حل معکوس معادله الاستیسیته دو بعدی پرداخته میشود. در حل مسائل مستقیم، معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) عموما با مشخص بودن شرایط مرزی، شرایط اولیه و تمام مقادیر ثابت مربوط به خواص فیزیکی و شکل هندسی ماده در معادلات حاکم، برای یک دامنه معین حل میشوند. در مساله معکوس یک یا چند پارامتر که مربوط به مقادیر ثابت در شرایط مرزی، اولیه یا فیزیک مسئله هستند مجهول میباشند که با بهره گرفتن از انتگرال گیری متغیرهای وابسته روی کرانه دامنه مذکور و با بهره گرفتن از روش بهینه سازی این پارمترهای مجهول تخمین زده میشوند.
مسائل مستقیم جزء مسائل خوش وضع[15] هستند.یک مسئله خوش وضع نامیده میشود اگر دارای سه شرط زیر باشند:
یک جواب برای مساله وجود داشته باشد(شرط وجود)
جواب مسالهکتا باشد(یکتایی)
جواب فقط به معلومات مساله وابسته باشد(پایداری)
مسائل معکوس جزء مسائل بد وضع طبقه بندی میشوند و حداقل یکی از شرایط فوق را ندارد.
حل مسائل معکوس از پیچیدگی ریاضی بیشتری برخوردار است. در حل اینگونه مسائل امکان بدست آوردن پارامتر مورد تخمین از یک تابع ریاضی و یا یک معادله دیفرانسیل که به روش عددی یا غیر عددی حل میشود وجود ندارد، بلکه علاوه بر محاسبات فوق نیاز به محاسبه ضریب حساسیت و مینیمم کردن تابع خطا و سایر فرایندهای ریاضی است که خود حل مسئله معکوس را پیچیده می کند. از طرفی عوامل بازدارندهای در حل مسائل وجود دارد که امکان اندازه گیری مستقیم را به ما نمیدهد. به عنوان مثال فیزیک سطح یا درجه حرارت زیاد، اجازه نصب وسایل اندازه گیری را نمیدهد یا وسیله با دقت مورد نظر ما در شرایط فوق، نمی تواند جوابگو باشد. تمام موانع فوق دلایل ما را برای بکارگیری روش معکوس توجیه می کند، که علیرغم سختی و طولانی بودن مراحل، اقدام به حل مسائل به روش معکوس نماییم.
روشهای بهینه سازی متعددی برای حل مسایل معكوس وجود دارد. از رایجترین و قدیمیترین روش های بهینه سازی، روشهای محلی است كه عمدتاً بر مبنای گرادیان تابع هدف كار میكنند. با توجه به سرعت همگرایی بالا و تخمین خوب مقادیر مجهول عیب اصلی این روشها گیر افتادن در نقاط بهینه محلی و عدم حركت این الگوریتمهاست .معمولا حدس اولیه مناسب و نزدیك به جواب راهكار مناسبی برای حل این مشكل میباشد . علاوه بر این مسائل معكوس طراحی كه به منظور تخمین هندسه انجام می شود، بد وضع[16] بوده و به شدت به خطاهای ورودی حساس میباشند كه برای رفع این مشكل از توابع تنظیم استفاده میشود. روشهای تنظیم متعددی برای حل مسائل معكوس وجود دارد كه از مهمترین آنها میتوان روش تنظیم تیخونوف [3] و روش تنظیم بك [4] را نام برد . گر چه هر كدام از این روش ها دارای مزایایی است، ولی هیچ یك به طور قطعی موثر واقع نشده است.
از دیگر روشهای بهینه سازی روشهای همگانی هستند كه معمولا تصادفی بوده و با مقدار مستقیم تابع هدف سرو كار دارند. الگوریتم ژنتیك در زمره روشهای همگانی و تصادفی بوده كه برای تخمین پارامترهای مجهول چه برای مسائل خطی و چه برای مسائل غیر خطی به كار می رود. در [5] هندسه و موقعیت حفره درون یك قاب دوبعدی به وسیله تلفیق سه روش المان مرزی، الگوریتم ژنتیك و گرادیان مزدوج، با آزمایش كشش بررسی شده است. در این تحقیق سازگاری روشهای الگوریتم ژنتیك و گرادیان مزدوج با روش المانهای مرزی كاملاً مشهود است . مقاله حاضر یك جسم دو بعدی با یك حفره را مورد بررسی قرار داده، ولی روش بطور كلی محدودیتی ندارد . بسط به مسائل سه بعدی و سازههای داخلی پیچیدهتر قابل بررسی می باشد .همچنین روش مطرح شده می تواند در زمینه انجام آزمایشات غیر مخرب[17] كاربردی موثر داشته باشد.
در این پروژه پس از حل مستقیم مسئله الاستیسیته دوبعدی به روش المانهای مرزی برای بدست آوردن جابهجاییها و ترکشنها، به حل معکوس مسئله پرداخته میشود. برای حل مساله معکوس از الگوریتم بهینه سازی ژنتیک استفاده میشود. این الگوریتم از یک روش بهینه سازی استفاده می کند تا ساختار محیط را به وسیله مینیمم کردن یک تابع هدف مناسب بدست آورد. این تابع هدف خطای بین داده اندازه گیری شده و داده تحلیلی را مدل می کند. نوع الگوریتم بهینه سازی تابع هدف، بهینه سازی همگانی[18] (الگوریتم ژنتیک) میباشد.
سرعت الگوریتم محلی نسبت به نوع همگانی بیشتر است. در صورتی که این الگوریتم به درستی مقداردهی نشود ممکن است در مینیمم محلی گیر بیفتد که در این صورت الگوریتم به جواب نادرست میرسد. برای رفع مشکلات الگوریتم محلی از الگوریتم بهینه سازی همگانی (الگوریتم ژنتیک) استفاده میشود. این روش مزیتهایی از قبیل توانایی جستجوی قوی، سادگی، تطبیق پذیری و غیر حساس بودن به حالت بد وضعی را دارا میباشد. در عوض معایبی دارد از جمله اینکه نیاز به زمان زیاد جهت اجرا دارد.
الگوریتم ژنتیک به عنوان نمونه ای از الگوریتم بهینه سازی همگانی، الگوریتم جستجوگری است که براساس ژنتیک طبیعی کار می کند. این الگوریتم از یک جمعیت اولیه که بطور تصادفی از فضای جستجو انتخاب میشود، شروع کرده سپس وارد حلقه تکامل برای دستیابی به جواب مینیمم میشود و مرحله تکامل تا برقراری شرط پایان ادامه مییابد.
[1] Elastostatic
[2] Boundary element method
[3] Genetic Algorithm
[4] Conjugate Gradient Method
[5] Simplex
[6] Tractions
[7] -Multi-Modality
[8] Ill pose
[9] Local optimization
[10] Finite difference method(FDM)
[11] Finite volume method(FVM)
[12] Finite element method(FEM)
[13] Boundary element method(BEM)
[14] Partial Differential Equation)PDE(
[15] Well pose
[16] Ill pose
[17] Nondestructive Test
[18] Global optimization