بررسی مدلهای شبکه­ای به عنوان روشی عددی برای حل معادلات آبهای زیرزمینی
 
 
به کوشش
پرژنگ منجمی
 
 
روشهای شبکه­ای از جمله پر کاربردترین ابزارهای مدلسازی آبهای زیرزمینی می­باشند که طی دو دهه‌ی اخیر گسترش و مقبولیت فراوانی یافته­اند. از دیگر سوی، پیشرفت قدرت محاسباتی کامپیوترها و سادگی دسترسی به آنها باعث توسعه‌ی سریع روشهای عددی برای حل مسائل آبهای زیرزمینی گردیده‌اند. در این تحقیق سعی شده تا با نگرشی نو به روشهای شبکه­ای، این روشها به عنوان یک مدل عددی برای شبیه­سازی نحوه‌ی حرکت آبهای زیر زمینی، معرفی شوند. بدین منظور، با جایگزین کردن شبکه­ای مربعی به جای محیط متخلخل و حل شبکه‌ی مزبور، دستگاهی از معادلات جبری بدست آمده که با حل آنها، توزیع هد هیدرولیکی درون محیط متخلخل معلوم می‌گردد. همچنین با ایجاد اصلاحاتی در شبکه‌ی مذکور از جمله افزودن اعضا‌ی قطری و به کارگیری اعضا‌ی موهومی، پاسخهای دقیقتری بدست آمده است. در نهایت، با توسعه‌ی این مدل شبکه­ای، یک مدل غیر نظام­مند جهت حل جریان در یک شبکه‌ی دلخواه ارائه ­شده است. برای صحت سنجی مدل، مسائل گوناگونی حل شده و پاسخها با روشهای عددی تفاضل محدود و عناصر محدود در حالتهای ماندگار و نا­ماندگار مقایسه گردیده­اند. مسائل ماندگار حل شده در این تحقیق عبارتند از: شبیه سازی جریان بدون حضور چشمه و چاه (معادله­ی لاپلاس) در دامنه­های مربعی، مستطیلی، مثلثی، تقاطع °90 و عبور جریان از اطراف استوانه و شبیه سازی جریان با حضور چاه (معادله­ی پواسون) در دامنه­ی مستطیلی. مسایل ناماندگار بررسی شده نیز شامل شبیه سازی جریان دردامنه­های یک بعدی و مربعی است. نتایج بدست آمده از حل این مسائل، بیانگر این موضوع است که اولاً، روشهای شبکه­ای را می­توان به عنوان ابزاری عددی توسعه داده و برای مدلسازی جریان در محیط متخلخل از آنها استفاده نمود. ثانیاً، بهره­گیری از اعضای قطری و موهومی باعث رسیدن به پاسخهایی دقیقتر از روشهای تفاضل محدود و عناصر محدود می­شود. مزیت دیگر روش شبکه­ای امکان ساخت آزمایشگاهی این مدل می­باشد. در این تحقیق شبکه‌ای از لوله­ها در آزمایشگاه ساخته شد و مسائلی چون حرکت آب در اطراف یک مستطیل غیر قابل نفوذ، درمحیطی با مرزهای مرکب، در زیر پرده‌ی آب­بند سد، در آبخوان آزاد و در آبخوانی ناهمگن و ناهمسان، توسط آن بررسی گردید. نتایج بدست آمده از مجموعه‌ی این آزمایشها نشان داد که اولاً، این وسیله‌ی آزمایشگاهی از نقطه نظر ساخت و کاربری، نسبت به وسایل دیگری چون جعبه شنی، گویهای کروی، مدارهای الکتریکی و سایر مدلهای آزمایشگاهی متداول، ساده­تر بوده و ثانیاً، به رغم سادگی، نتایج حاصل ازآن تطابق خوبی با جوابهای عددی ارائه شده در تحقیق دارد.

 
 
 
 
فهرست مطالب
 

 
عنوان
صفحه
کلیات 1
1-1 مقدمه 1
1-2 هدف از انجام این تحقیق 2
1-3 روش انجام تحقیق 4
1-4 نوآوری تحقیق 5
1-5 ساختار پایان نامه 5

پیشینه‌ی تحقیق 7
2-1 مقدمه 7
2-2 انواع مدلها 9
2-2-1 مدلهای ریاضی (mathematical models) 9
2-2-1-1 طبقه ‌بندی مدلهای ریاضی 10
2-2-1-2 معادله‌ی حاکم بر آبهای زیر زمینی 10
2-2-2 مدلهای فیزیکی (physical models) 13
2-2-3 مدلهای تمثالی(analog models) 15
2-2-3-1 مدلهای شبکه‌ای Pore Network Models (PNMs) 16
2-2-3-2 مدلهای سیال لزج (viscous fluid models) 25
2-2-3-3 مدلهای غشایی (membrane models) 26
2-2-3-4 مدلهای حرارتی (thermal models) 26
2-2-3-5 مدلهای الکتریکی (electrical models) 27
َ2-3 روشهای عددی 28
2-3-1 روش تفاضل محدود (finite difference method) 29
2-3-2 روش حجم محدود (finite volume method) 32
2-3-3 روش عناصر محدود (finite element method) 34
2-3-4. روش عناصر مرزی (boundary element method) 36
2-3-5 روش عددی دیفرانسیل کوادراچر (differential quadrature method) 39
2-3-6 روشهای طیفی (spectral methods) 40

معرفی روش شبکه‌ای به عنوان روشی عددی برای حل معادله‌ی آبهای زیرزمینی 41
3- 1 مقدمه 41
3-2 مبانی تئوریکی روشهای شبکه‌ای 42
3-2-1 معادله‌ی حاکم بر روش شبکه‌ای 42
3-2-2 معادله‌ی جبری حاکم بر روش شبکه‌ای در حالت ماندگار 45
3-2-3 تأثیر ناهمگنی و ناهمسانی بر معادلات جبری حاکم 50
3-2-4 تزریق و برداشت 51
3-2-5 معادله‌ی جبری حاکم بر روش شبکه‌ای در حالت ناماندگار 51
3-2-6 آبخوان محصور و آزاد 52
3-2-7 اصلاح روش شبکه‌ای 53
3-2-7-1 بهبود با استفاده از افزایش اتصال گره‌ها 53
3-2-7-2 بهبود با استفاده از نحوه‌ی مدل کردن گره‌های مرزی 57
3-2-8 معادله‌ی حاکم در حالت کلی 59
3-2-9 تأثیر شکل هندسی مجاری بر روش شبکه‌ای 61
3-2-9-1شکل مجاری 61
3-2-9-2 معادله‌ی حاکم 62
3- 3 مدل آزمایشگاهی 70
3-3-1 مقدمه 70
3-3-2 نحوه‌ی ساخت مدل آزمایشگاهی 70
3-3-3 روش انجام آزمایش 71
3-3-3-1محیط همگن و همسان با هد ثابت 72
3-3-3-2 آزمایش آبخوان آزاد 72
3-3-3-3 آزمایش لایه‌ی غیر قابل نفوذ 72
3-3-3-4 آزمایش ناهمگن و ناهمسان بودن محیط متخلخل 73
3-3-3-5 آزمایش جریان ناماندگار 74

مثالهای عددی و آزمایشگاهی و بحث در نتایج به دست آمده 75
4-1 مقدمه 75
4-2 مثالهای عددی 76
4-1-1 مثال 1) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مربعی و شرایط               مرزی شکل 4-1 76
4-1-2 مثال 2) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مربعی و شرایط مرزی         شکل 4-5 87
4-1-3 مثال 3) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مستطیلی و شرایط           مرزی شکل 4-8 91
4-1-4 مثال 4) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مثلثی و شرایط مرزی     شکل4-11 94
4-1-5 مثال 5) مسأله‌ی حالت ماندگار با وجود چاه در محدوده‌ی مستطیلی             و شرایط مرزی شکل 4-14 97
4-1-6 مثال 6) مسأله‌ی حالت ماندگار در دامنه‌ای L شکل و شرایط                  مرزی شکل 4-17 99
4-1-7 مثال 7) مسأله‌ی حالت ناماندگار یک بعدی 101
4-1-8 مثال 8) مسأله‌ی حالت ناماندگار دو بعدی 104
4-1-9 مثال 9) مسأله‌ی حالت ماندگار با شرایط مرزی منحنی 107
4-1-10 مثال 10) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مستطیلی و               شرایط مرزی شکل 4-25 110
4-1-11 مثال 11) مسأله‌ی حالت ماندگار در محدوده‌ی مثلثی و شرایط           مرزی شکل 4-27 113
4-3 مثالهای آزمایشگاهی 116
4-3-1 آزمایش 1) جریان در اطراف یک مانع مستطیلی 117
4-3-2. آزمایش 2) جریان با شرایط مرزی مرکب 120
4-3-3 آزمایش 3) جریان از زیر پرده‌ی آب بند 122
4-3-4 آزمایش 4) جریان در آبخوان آزاد 124
4-3-5 آزمایش 5) جریان در آبخوانی ناهمگن و ناهمسان 127

نتیجه‌گیری و پیشنهادات 132
پیوستها 134
پیوست 1. حل تحلیلی مثال 1 134
پیوست 2. حل تحلیلی مثال 2 136
پیوست 3. حل تحلیلی مثال 3 137
پیوست 4. حل تحلیلی مثال 4 138
پیوست 5. حل تحلیلی مثال 5 140
پیوست 6. حل تحلیلی مثال 7 142
پیوست 7. حل تحلیلی مثال 8 144
پیوست 8. حل تحلیلی مثال 9 146
پیوست 9. حل تحلیلی آزمایش 4 146
فهرست منابع 148

 
 
 
فهرست شکلها
 
 

عنوان
صفحه
 
شکل 2- 1. فلوچارت مدل کردن آب زیرزمینی (Baalousha, 2008) 7
شکل 2- 2. المان دو بعدی در محیط متخلخل 11
شکل 2- 3. آبخوان غیر محصور 12
شکل 2- 4. المان به کار رفته در مدل شبکه‌ای (Marios and Ioannis, 1992) 17
شکل 2- 5. سطح مقطعهای مختلف مجراهایPNM (Man and Jing, 2000) 17
شکل 2- 6. شکلهای مورد استفاده در شبیه سازی حفرات و مجاری موجود در محیط متخلخل (Acharya et al., 2004) 18
شکل 2- 7. نحوه‌ی ساخت مجاری ارتباطی (Acharya et al., 2004) 18
شکل 2- 8. نمودارضریب نفوذ پذیری ذاتی بر حسب تخلخل  (Acharya et al., 2004) 19
شکل 2- 9. مقایسه‌ی بین ضریب نفوذ پذیری به دست آمده با استفاده از معادله‌ی   Carman-Kozeny و روش شبکه‌ای (Acharya et al., 2004) 19
شکل 2- 10. مقایسه‌ی بین پروفیل سرعت در حفرات با استفاده از (a)آزمایش                 و (b) روش شبکه‌ای (Mazaheri et al., 2005) 20
شکل 2- 11. نشان دادن فرضیات مبنی بر به دام افتادن آب در هنگام زهکشی       (Joekar et al., 2008) 20
شکل 2- 12. نشان دادن به دام افتادن هوا در یک مجرای تنها و مجموعه‌ای از مجراها (Joekar et al., 2008) 21
شکل 2- 13. مقایسه‌ی بین جوابهای مختلف

به دست آمده از مدل و آزمایش           (Joekar et al., 2008) 21
شکل 2- 14. نمایش اتصال یک گره به بیست و شش گره مجاور                           (Raoof and Hassanizadeh, 2010) 22
شکل 2- 15. تاثیر تعداد شبکه‌ها در فشار ورودی و زمان رسیدن جبهه‌ی                       آب و DNAPL (Nsir and Schafer, 2010) 22
شکل 2- 16. تاثیر شکل سطح مقطع در نمودارهای P-s و α-S (Joekar et al., 2010) 23
شکل 2- 17. مقایسه‌ی بین جوابهای به دست آمده از مدل و آزمایش برای               منحنی‌های P-s, α-S (Joekar et al., 2010) 23
شکل 2- 18. تاثیرشکل سطح مقطع در نمودارهای P-s, α-S (Jiang et al., 2012) 24
شکل 2- 19. شبکه بندی دامنه‌ی مورد نظر با استفاده از روش تفاضل محدود.                 (a) فواصل منظم. (b) فواصل غیر منظم (, 2010.et al Bear) 29
شکل 2- 20. ارتباط گره‌های مختلف با استفاده از روش تفاضل محدود رایج           (Iserles, 2009) 31
شکل 2- 21. ارتباط گره‌های مختلف با استفاده از روشهای غیر رایج تفاضل محدود   (Iserles, 2009) 31
شکل 2- 22. ارتباط گره‌های مختلف با استفاده از روشهای غیر رایج تفاضل محدود         برای مرزهای غیر منظم. شبکه بندی لانه زنبوری (Iserles, 2009) 31
شکل 2- 23. مقایسه‌ی بین شبکه بندی (a) کارتزین تفاضل محدود و                         (b) غیر متعامد حجم محدود (Louydi et al., 2007) 32
شکل 2- 24. شبکه بندی دامنه‌ی مورد نظر با استفاده از روش حجم محدود           (Chung, 2002) 33
شکل 2- 25. سطوح کنترل بین گره‌های 1 و 7 (Chung, 2002) 33
شکل 2- 26. نحوه‌ی شبکه بندی و نقاط مؤثر در روش دیفرانسیل کودراچر             (Iserles, 2009) 39
شکل 2- 27. نحوه‌ی شبکه بندی و نقاط مؤثر در روش دیفرانسیل کودراچر محلی   (Iserles, 2009) 40
شکل 3- 1. ساختار شبکه‌ی مستطیلی روش شبکه‌ای (RPNM) 43
شکل 3- 2. المانی نشان داده شده از روش RPNM 43
شکل 3- 3. گره داخلی دلخواه از شبکه‌ی مربعی (SPNM) 45
شکل 3- 4. نمایش محاسباتی گره داخلی از SPNM 46
شکل 3- 5. نمایش سه نوع شرط مرزی مختلف روی دامنه‌ای دلخواه از SPNM 47
شکل 3- 6. نمایش گرهی دلخواه واقع بر مرزی با شرایط     48
شکل 3- 7. در نظر گرفتن نقطه ای بیرون از مرز برای بررسی شرایط      48
شکل 3- 8. در نظر گرفتن نقطه‌ای بیرون از مرز برای بررسی شرایط         49
شکل 3- 9. کاهش قطر به منظور مدل سازی کاهش ضریب هدایت هیدرولیکی 50
شکل 3- 10. اضافه نمودن اعضای قطری به شبکه‌ی مربعی SDPNM 54
شکل 3- 11. گره داخلی دلخواه از SDPNM 54
شکل 3- 12. نمایش محاسباتی گرهی داخلی از SDPNM 55
شکل 3- 13. نمایش سه نوع شرط مرزی مختلف روی دامنه‌ای دلخواه از SDPNM 55
شکل 3- 14. افزایش طول لوله بجای کاهش قطر آن برای شبیه سازی کاهش              ضریب هدایت هیدرولیکی 60